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OpenCV数学基础知识

差分

一阶差分

对于一维连续或离散函数 $f(x)$ ，在点 $x$ 处的差分定义为

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

对于二维连续或离散函数 $f(x,y)$ ，差分定义为

$\begin{aligned} \Delta f_x(x,y)&=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\\ \Delta f_y(x,y)&=f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \end{aligned}$

二阶差分

二阶差分定义为对一阶差分的差分。对于一维连续或离散函数 $f(x)$ ，在点 $x$ 处的二阶差分定义为

$\begin{aligned} \Delta^2f(x)&=\Delta(\Delta f(x))\\ &=\Delta f(x+\Delta x)-\Delta f(x)\\ &=(f(x+\Delta x+\Delta x)-f(x+\Delta x))-(f(x+\Delta x)-f(x))\\ &=f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x) \end{aligned}$

同理，对于二维连续或离散函数 $f(x,y)$ ，二阶差分定义为

$\begin{aligned} \Delta^2f_x(x,y)&=f(x+2\Delta x,y)-2f(x+\Delta x,y)+f(x,y)\\ \Delta^2f_y(x,y)&=f(x,y+2\Delta y)-2f(x,y+\Delta y)+f(x,y) \end{aligned}$

高阶差分

对于任意阶差分，其系数满足杨辉三角的系数，只需将偶数列取负值即可。

微分

微分是差分的点差趋近于0的特殊形式。对于一维连续函数 $f(x)$ ，在点 $x$ 处的微分定义为

$df(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}f(x+\Delta x)-f(x)$

二阶微分为

$d^2f(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)$

在离散情况下，由于关于 $x,y$ 的差分 $\Delta x, \Delta y$ 无法趋近于0，因此一般用 $\Delta x=\Delta y=1$ ，也就是距离为1的差分来近似表示微分。对于一维离散函数 $f(x)$ ，在点 $x$ 处的微分定义为

$df(x)\approx f(x+1)-f(x)$

二阶微分为

$d^2f(x)\approx f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$

导数

对于一维连续函数 $f(x)$ ，在点 $x$ 处的导数定义为 $f(x)$ 的差分与 $x$ 的差分在 $\Delta x\rightarrow0$ 时的极限值：

$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

二阶导数为

$f''(x)=\frac{d^2f(x)}{dx^2}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)}{(\Delta x)^2}$

在OpenCV的离散情况下，由于关于 $x,y$ 的差分 $\Delta x, \Delta y$ 无法趋近于0，因此一般用 $\Delta x=\Delta y=1$ ，也就是微分来近似计算导数。即对于一维离散函数 $f(x)$ ，导数定义为

$f'(x)\approx df(x)=f(x+1)-f(x)$

二阶导数为

$f''(x)\approx d^2f(x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$

偏导数

对于二维连续或离散函数 $f(x,y)$ ，偏导数定义为 $f(x,y)$ 的在 $x$ 方向或 $y$ 方向的差分与 $x$ 和 $y$ 的差分在 $\Delta x\rightarrow0$ 和 $\Delta y\rightarrow0$ 时的极限值：

$\begin{aligned} G_x(x,y)&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\\ G_y(x,y)&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} \end{aligned}$

二阶偏导数为

$\begin{aligned} \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+2\Delta x,y)-2f(x+\Delta x,y)+f(x,y)}{(\Delta x)^2}\\ \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}&=\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{f(x,y+2\Delta y)-2f(x,y+\Delta y)+f(x,y)}{(\Delta y)^2} \end{aligned}$

除此之外，还有二阶混合偏导数，计算遵循从右到左的顺序：

$\begin{aligned} \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})\\ &=\frac{\partial}{\partial x}(\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y})\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)}{\Delta y}-\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y)}{\Delta x\Delta y}\\ \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}&=\lim_{\Delta y\rightarrow0}\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y)}{\Delta x\Delta y} \end{aligned}$

上式中的区别为取极限的顺序，一个是先对 $\Delta x$ 取极限，另一个是先对 $\Delta y$ 取极限。

对于二维离散函数 $f(x,y)$ ，偏导数定义为

$\begin{aligned} G_x=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&\approx df_x(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y)\\ G_y=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&\approx df_y(x,y)=f(x,y+1)-f(x,y) \end{aligned}$

二阶偏导数为

$\begin{aligned} \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}&\approx d^2f_x(x,y)=f(x+2,y)-2f(x+1,y)+f(x,y)\\ \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}&\approx d^2f_y(x,y)=f(x,y+2)-2f(x,y+1)+f(x,y)\\ \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}\approx\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}&\approx f(x+1,y+1)-f(x+1,y)-f(x,y+1)+f(x,y)\\ \end{aligned}$

梯度

一阶梯度

在二维图像 $f(x,y)$ 上，一阶导数由 $f(x,y)$ 在 $x$ 方向和 $y$ 方向的偏导数计算出的梯度来表示。梯度 $\nabla f$ 是关于 $f$ 的向量函数：

$G(x,y)=\nabla f(x,y)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} G_x & G_y \end{bmatrix}$

梯度的幅值为

$mag(G(x,y))=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}=\sqrt{G_x^2+G_y^2}$

为方便计算，也常用近似公式

$mag(G(x,y))\approx|\frac{\partial f}{\partial x}|+|\frac{\partial f}{\partial y}|=|G_x|+|G_y|$

梯度的方向为

$\phi(G(x,y))=\arctan|\frac{G_y}{G_x}|$

二阶梯度

二维空间中的二阶梯度是一个 $2\times2$ 矩阵，称为海森矩阵（Hessian matrix），定义为：

$\Delta^2f(x,y)=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \end{bmatrix}$