有 7 个一模一样的苹果，放到 3 个一样的盘子中，一共有（

[单选题]

有 7 个一模一样的苹果，放到 3 个一样的盘子中，一共有（）种放法。

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此题应用插空法解决：一：两空盘1种、二：一空盘：即从六空中插入一个间隔,即3、三：无空盘即从六空插两间隔有4种,最后答案为8种。

发表于 2019-10-11 14:45:02 回复(8)

PaiQ_TianLai

将 $n$ 个相同的球全部放入 $k$ 个相同的盒子，问有多少种方法（无空集）？

$n$ 个球	$k$ 个盒子	无限制	每盒最多一球 $(n\leq k)$	每盒至少一球 $(k\leq n)$
全不同	全不同	$k^n$	$A^n_k$	$k!\times S(n,k)$
全相同	全不同	$C^{k-1}_{n+k-1}$	$C^n_k$	$C^{k-1}_{n-1}$
全不同	全相同	$\sum_{i=1}^{k}S(n,i)$	$1$	$S(n,k)$
全相同	全相同	$P(n+k,k)$	$1$	$P(n,k)$

$P(n,k)=P(n-1,k-1)+P(n-k,k)$

我们可以把它分为两种情况讨论：

存在一个盒子只有一个球的情况： $P(n-1,k-1)$
不存在一个盒子只有一个球的情况： $P(n-k,k)$

存在，就有一个盘子有一个球。所以 $n-1$ ，球放一个， $k-1$ 盘子少一个。

不存在，就把所有盘子都放上一个。所以 $n-k$ ，球少 $k$ 个， $k$ 盘子不变。

根据题目意思可知，本题是可有空集的情况，所以 $n$ 要加上 $k$ 表示已全铺一层，在后面处理的时候递归就会识别成无空集的状态。即 $P(n+k,k)$ 。

边界：

$P(n,k)=\begin{cases} 0(n<k)\\ 1(k=1)\\ 1(n=k) \end{cases}$

浅浅推一下 $QWQ$
$n=7,k=3;\\ P(10,3)=\begin{cases} P(9,2)=\begin{cases} P(8,1)=1\\ P(7,2)=\begin{cases} P(6,1)=1\\ P(5,2)=\begin{cases} P(4,1)=1\\ P(3,2)=\begin{cases} P(2,1)=1\\ P(1,2)=0 \end{cases} \end{cases} \end{cases} \end{cases}\\ P(7,3)=\begin{cases} P(6,2)=\begin{cases} P(5,1)=1\\ P(4,2)=\begin{cases} P(3,1)=1\\ P(2,2)=1 \end{cases} \end{cases}\\ P(4,3)=\begin{cases} P(3,2)=\begin{cases} P(2,1)=1\\ P(1,2)=0 \end{cases}\\ P(1,3)=0 \end{cases} \end{cases} \end{cases}$