01-15 11:13 已编辑常州大学 C++ 发布于四川

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关于Sobel核的一般数学推导（3x3、5x5、7x7，1阶、2阶、3阶...）

标准的 $3\times 3$ Sobel一阶核在x方向（本文仅考虑x方向，y方向为x方向的转置）的模板为

$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

即为 $S_3$ ，显然，这个核是两个向量的乘积，即

$S_3=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

为方便讨论，我们将行向量称为差分核（OpenCV中Sobel函数参数 $dy\not = 0$ 的核），列向量称为平滑核（OpenCV中Sobel函数参数 $dx=0$ 的核），虽然根据最终结果来看，这两种核并没有本质区别。

平滑核

首先看平滑核。平滑核的系数满足对应级数的杨辉三角的系数，也就是二项式 $(a+b)^n$ 的系数。杨辉三角形的系数如下：

$n=0:1$

$n=1:\begin{matrix}1&1\end{matrix}$

$n=2:\begin{matrix}1&2&1\end{matrix}$

$n=3:\begin{matrix}1&3&3&1\end{matrix}$

$n=4:\begin{matrix}1&4&6&4&1\end{matrix}$

$n=5:\begin{matrix}1&5&10&10&5&1\end{matrix}$

$n=6:\begin{matrix}1&6&15&20&15&6&1\end{matrix}$

$\cdots$

我们将级数为n的杨辉三角系数组成的矩阵即为 $P_n$ ，则 $3\times 3$ 的平滑核的系数为 $P_n$ 。即对于 $m\times m$ 的平滑核，其系数为 $P_{m-1}$ 。那么 $5\times 5$ 的平滑核模板为

$5\times 5:P_4=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1\\ \end{bmatrix}$

$7\times 7$ 的平滑核模板为

$7\times 7:P_6=\begin{bmatrix} 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1\\ \end{bmatrix}$

一阶差分核

对于 $3\times 3$ 的Sobel核，一阶差分核的系数（记为 $D'_3$ ）为一阶差分方程系数矩阵的翻转（设为 $G_1$ ）与 $P_1$ 的对 $P_1$ 补0卷积。

在离散情况下，一阶差分公式如下：

$\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)$

其系数矩阵 $G'$ 为

$G'=\begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}$

为了保证卷积后的结果与 $3\times 3$ 的Sobel核一致，还需要对 $P_1$ 的前后各补充一个0，即

$P_{1补0}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

令 $D_3'$ 的第 $x$ 个参数为 $d_3'(x)$ ， $G_1$ 的第 $x$ 个参数为 $g'(x)$ ， $P_{1补0}$ 的第 $x$ 个参数为 $p_1(x)$ ，则有

$d_3'(x)=(g'*p_1)(x)=\sum_{i=1}^2g'(i)p_1(x+2-i)$

则 $3\times 3$ 的一阶差分核的计算方式为

$\begin{align*} D'_3&=G'*P_{1补0}\\ &=\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{2}g'(i)p_1(3-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_1(4-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_1(5-i) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

同理， $5\times 5$ 的一阶差分核的计算方式为

$\begin{align*} D'_5&=G'*P_{4补0}\\ &=\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(3-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(4-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(5-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(6-i)&\sum_{i=1}^{2}g'(i)p_4(7-i) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 3\\ 3 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

$7\times 7$ 的一阶差分核计算方式同理，为（读者可自行继续计算推导）

$D'_7=G'*P_{6补0}$

二阶差分核

对于 $3\times 3$ 的Sobel核，2阶差分核的系数（ $D''$ ）为2阶差分方程系数矩阵的翻转（ $G''$ ）与 $P_0$ 的补0卷积。在离散情况下，二阶差分公式如下：

$\begin{align*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=\partial_x f(x+1)-\partial_x f(x)\\ &=[f(x+2)-f(x+1)]-[f(x+1)-f(x)]\\ &=f(x+2)-2f(x+1)+f(x) \end{align*}$